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<!DOCTYPE html>

<title>Universelle Algebra</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Universelle Algebra</span></h1>

</header>

</div>

<p>Die <b>universelle Algebra</b> (auch <b>allgemeine Algebra</b>) ist ein <a href="Teilgebiet_der_Mathematik" class="mw-redirect" title="Teilgebiet der Mathematik">Teilgebiet der Mathematik</a>, genauer der <a href="Algebra" title="Algebra">Algebra</a>, das sich mit allgemeinen <a href="Algebraische_Struktur" title="Algebraische Struktur">algebraischen Strukturen</a> und ihren <a href="Homomorphismus" title="Homomorphismus">Homomorphismen</a> sowie gewissen Verallgemeinerungen befasst.

</p><p>Während in der <a href="Abstrakte_Algebra" title="Abstrakte Algebra">abstrakten Algebra</a> und ihren jeweiligen Teilgebieten wie <a href="Gruppentheorie" title="Gruppentheorie">Gruppentheorie</a>, <a href="Ringtheorie" class="mw-redirect" title="Ringtheorie">Ringtheorie</a> und <a href="K%C3%B6rpertheorie" class="mw-redirect" title="Körpertheorie">Körpertheorie</a> algebraische Strukturen mit bestimmten festen <a href="Verkn%C3%BCpfung_(Mathematik)" title="Verknüpfung (Mathematik)">Verknüpfungen</a> mit festgelegten Eigenschaften untersucht werden, befasst sich die universelle Algebra mit Strukturen im Allgemeinen, also mit <a href="Mathematische_Struktur" title="Mathematische Struktur">Strukturen</a> mit beliebigen Verknüpfungen und beliebigen festlegbaren Eigenschaften. Die Gruppentheorie etwa spricht allgemein über <a href="Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppen</a>, für die universelle Algebra sind Gruppen dagegen nur ein Beispiel für einen Typ algebraischer Strukturen. Die universelle Algebra ist verwandt mit der <a href="Modelltheorie" title="Modelltheorie">Modelltheorie</a>, einem Teilgebiet der <a href="Mathematische_Logik" title="Mathematische Logik">mathematischen Logik</a>, das sich mit der Beziehung zwischen Strukturen und <a href="Logische_Formel" title="Logische Formel">logischen Formeln</a>, die diese beschreiben, befasst. Von zentralem Interesse ist dabei die Modelltheorie der Gleichungslogik.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Auch die <a href="Verbandstheorie" class="mw-redirect" title="Verbandstheorie">Verbandstheorie</a> findet Anwendung in der universellen Algebra. Die <a href="Kategorientheorie" title="Kategorientheorie">Kategorientheorie</a> stellt einen noch allgemeineren Ansatz dar, von dem aus sich die universelle Algebra betrachten lässt. Dabei wird die Beschreibung von Strukturen allein auf das Verhalten ihrer strukturerhaltenden Abbildungen unter <a href="Verkettung_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Verkettung (Mathematik)">Verkettung</a>, im Falle der universellen Algebra der Homomorphismen, reduziert.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grundbegriffe">Grundbegriffe</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Algebraische_Struktur" title="Algebraische Struktur">Algebraische Struktur</a></i></div>

<p>Fundamentaler Grundbegriff der universellen Algebra ist der der algebraischen Struktur. Eine algebraische Struktur ist eine Menge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span>, genannt <a href="Tr%C3%A4germenge" title="Trägermenge">Trägermenge</a>, versehen mit einer <a href="Familie_(Mathematik)" title="Familie (Mathematik)">Familie</a> von Verknüpfungen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

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</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05cdad3859bf91f32d4e27675b69bb1ce1795e6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.917ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A}" loading="lazy"></span> möglicherweise verschiedener Stelligkeiten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{i}}</annotation>

</semantics>

<msub>

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</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57f87f905ba5a4d8c691ccaecd65fc47bd007ba4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.194ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle n_{i}}" loading="lazy"></span> jeweils eine beliebige <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürliche Zahl</a> ist. Konstanten können dabei formal durch 0-stellige Verknüpfungen dargestellt werden. Eine Gruppe etwa ist eine algebraische Struktur mit einer zweistelligen Verknüpfung, der jeweiligen Gruppenmultiplikation. Ein <a href="Ring_(Algebra)" title="Ring (Algebra)">Ring</a> dagegen besitzt zwei zweistellige Verknüpfungen, die jeweilige Addition und die jeweilige Multiplikation.

</p><p>Bei der Definition einer Gruppe oder eines Ringes und vieler weiterer Strukturen wird zusätzlich gefordert, dass die Verknüpfungen bestimmte Eigenschaften erfüllen, wie zum Beispiel das <a href="Assoziativgesetz" title="Assoziativgesetz">Assoziativgesetz</a>. Ein natürlicher Untersuchungsgegenstand sind daher <a href="Klasse_(Mengenlehre)" title="Klasse (Mengenlehre)">Klassen</a> von algebraischen Strukturen, die bestimmte Eigenschaften erfüllen, die durch logische Formeln gegeben sind. In vielen Fällen kommt man dabei mit der einfachen Gleichungslogik aus. In dieser lassen sich – unter Hinzunahme von ein- bzw. nullstelligen Verknüpfungen für die Inversenbildung und das neutrale Element – etwa die Gruppenaxiome formulieren. Diese Logik hat etwa die angenehme Eigenschaft, dass jede Substruktur einer algebraischen Struktur, d. h. eine Teilmenge, soweit darauf die Verknüpfungen immer noch wohldefiniert sind, dieselben gleichungslogischen Formeln erfüllt. Jene Klassen bilden einen Spezialfall der in der klassischen Modelltheorie untersuchten <a href="Elementare_Klasse" title="Elementare Klasse">elementaren Klassen</a> von Strukturen, die durch Formeln der <a href="Pr%C3%A4dikatenlogik_erster_Stufe" title="Prädikatenlogik erster Stufe">Prädikatenlogik erster Stufe</a> axiomatisiert sind.

</p><p>Ein <a href="Homomorphismus" title="Homomorphismus">Homomorphismus</a> zwischen zwei algebraischen Strukturen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"></span> mit Verknüpfungen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{i}}">

<msub>

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</msub>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65da883ca3d16b461e46c94777b0d9c4aa010e79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.939ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{i}}" loading="lazy"></span> bzw. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ce36142a0a1c6660e82bdf3ef3f1551317efe0c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.909ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g_{i}}" loading="lazy"></span> mit jeweils gleicher Stelligkeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57f87f905ba5a4d8c691ccaecd65fc47bd007ba4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.194ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle n_{i}}" loading="lazy"></span> ist eine Abbildung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\colon A\to B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\colon A\to B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f19354e0768568e2d2786ca5af2c436dd1fd7f91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:9.414ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p\colon A\to B}" loading="lazy"></span> mit der Eigenschaft, dass für jedes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"></span> und für alle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n_{i}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n_{i}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7bde3a8a3cc6179cffded0c47bc563834c7a799.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.535ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n_{i}}}" loading="lazy"></span> die Gleichung

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(f_{i}(a_{1},\ldots ,a_{n_{i}}))=g_{i}(p(a_{1}),\ldots ,p(a_{n_{i}}))}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d0d7a51b6a8af93d6343cdf5f406d3ec71ad9458.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:40.661ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle p(f_{i}(a_{1},\ldots ,a_{n_{i}}))=g_{i}(p(a_{1}),\ldots ,p(a_{n_{i}}))}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>gilt. Jeder bijektive Homomorphismus auf einer algebraischen Struktur ist ein <a href="Isomorphismus" title="Isomorphismus">Isomorphismus</a>. Mit den Homomorphismen als <a href="Morphismus" title="Morphismus">Morphismen</a> bilden die algebraischen Strukturen eine <a href="Kategorie_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Kategorie (Mathematik)">Kategorie</a>, so dass sich die üblichen allgemeinen kategorientheoretischen Begriffe anwenden lassen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerungen">Verallgemeinerungen</h2></div>

<p>Neben einfachen algebraischen Strukturen werden auch verschiedenartige Verallgemeinerungen betrachtet, auf die sich mitunter bestimmte Sätze übertragen lassen, etwa:

</p>

<ul><li>Partielle algebraische Strukturen, die Verknüpfungen müssen nicht für alle Kombinationen von Parametern definiert sein.</li>

<li><a href="Heterogene_Algebra" title="Heterogene Algebra">Heterogene Algebren</a> und partielle heterogene Algebren, statt einer Trägermenge gibt es mehrere Trägermengen, auf denen Verknüpfungen definiert sind.</li>

<li><a href="Relationale_Struktur" class="mw-redirect" title="Relationale Struktur">Relationale Strukturen</a>, statt Funktionen werden beliebige <a href="Relation_(Mathematik)" title="Relation (Mathematik)">Relationen</a> zugelassen, solche sind typischer Untersuchungsgegenstand der Modelltheorie.</li>

<li>Infinitäre Strukturen, die Verknüpfungen können unendliche Stelligkeit haben.</li>

<li>Topologische algebraische Strukturen, die Strukturen werden zusätzlich mit einer <a href="Topologische_Struktur" class="mw-redirect" title="Topologische Struktur">topologischen Struktur</a> versehen, bezüglich der die Operationen stetig sind.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

<p>Der britische Mathematiker <a href="Alfred_North_Whitehead" title="Alfred North Whitehead">Alfred North Whitehead</a> veröffentlichte 1898 seine <i><a href="Treatise_on_Universal_Algebra" title="Treatise on Universal Algebra">Treatise on Universal Algebra</a></i>. In diesem Werk sprach er auf allgemeine Weise von Verknüpfungen (<i>operations</i>) und Gleichungen, unter universeller Algebra, unter <i>Universal Algebra</i> verstand er jedoch nur das Studium von Strukturen mit zwei inneren Verknüpfungen (das heißt zwei <a href="Magma_(Mathematik)" title="Magma (Mathematik)">Magmastrukturen</a>, Addition und Multiplikation genannt), mit verschiedenen möglichen zusätzlichen Eigenschaften, und evtl. einer Art verallgemeinerten <a href="Graduierung_(Algebra)" title="Graduierung (Algebra)">Graduierung</a>.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Allgemeine Ergebnisse der universellen Algebra erzielte er dagegen nicht.<sup id="cite_ref-GrätzerVII_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-GrätzerVII-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Solche lieferte erstmals 1935 <a href="Garrett_Birkhoff" title="Garrett Birkhoff">Garrett Birkhoff</a>.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-GrätzerVII_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-GrätzerVII-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <a href="Anatoli_Iwanowitsch_Malzew" title="Anatoli Iwanowitsch Malzew">Anatoli Iwanowitsch Malzew</a> wandte ab 1941 erstmals die frühen modelltheoretischen Ergebnisse, die er in allgemeine, moderne Form gebracht hatte,<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> auf die universelle Algebra an.<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Garrett_Birkhoff" title="Garrett Birkhoff">Garrett Birkhoff</a>: <cite style="font-style:italic">Lattice Theory</cite>. 3. Auflage. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 1979.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Universelle+Algebra&rft.au=Garrett+Birkhoff&rft.btitle=Lattice+Theory&rft.date=1979&rft.edition=3.&rft.genre=book&rft.place=Providence%2C+Rhode+Island&rft.pub=American+Mathematical+Society" style="display:none"> </span></li>

<li>Stanley Burris, H. P. Sankappanavar: <cite style="font-style:italic">A Course in Universal Algebra</cite>. Hrsg.: Natural Sciences and Engineering Research Council Canada (= <cite style="font-style:italic">Graduate texts in mathematics</cite>. <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>78</span>). Ottawa, Ontario, Canada 2000 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/UALG/univ-algebra.pdf">math.uwaterloo.ca</a> [PDF; <span style="white-space:nowrap">15,5<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>MB</span>]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Universelle+Algebra&rft.au=Stanley+Burris%2C+H.+P.+Sankappanavar&rft.btitle=A+Course+in+Universal+Algebra&rft.date=2000&rft.genre=book&rft.place=Ottawa%2C+Ontario%2C+Canada&rft.series=Graduate+texts+in+mathematics" style="display:none"> </span></li>

<li>George Grätzer: <cite style="font-style:italic">Universal Algebra</cite>. Van Nostrand, Princeton (NJ) 1968, ISBN 978-0-387-77486-2, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-0-387-77487-9">10.1007/978-0-387-77487-9</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Universelle+Algebra&rft.au=George+Gr%C3%A4tzer&rft.btitle=Universal+Algebra&rft.date=1968&rft.doi=10.1007%2F978-0-387-77487-9&rft.genre=book&rft.isbn=9780387774862&rft.place=Princeton+%28NJ%29&rft.pub=Van+Nostrand" style="display:none"> </span></li>

<li>Thomas Ihringer: <cite style="font-style:italic">Allgemeine Algebra</cite>. Mit einem Anhang über Universelle Coalgebra von H. P. Gumm (= <cite style="font-style:italic">Berliner Studienreihe zur Mathematik</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>10</span>). Heldermann, Lemgo 2003, ISBN 3-88538-110-9.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Universelle+Algebra&rft.au=Thomas+Ihringer&rft.btitle=Allgemeine+Algebra&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.isbn=3885381109&rft.place=Lemgo&rft.pub=Heldermann&rft.series=Berliner+Studienreihe+zur+Mathematik" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Anatoli_Iwanowitsch_Malzew" title="Anatoli Iwanowitsch Malzew">Anatolij Ivanovič Mal’cev</a>: <cite style="font-style:italic">The Metamathematics of Algebraic Systems</cite>. Collected Papers: 1936–1967 (= <cite style="font-style:italic">Studies in logic and the foundations of mathematics</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>66</span>). North-Holland, Amsterdam 1971 (aus dem Russischen übersetzt von Benjamin Franklin Wells).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Universelle+Algebra&rft.au=Anatolij+Ivanovi%C4%8D+Mal%E2%80%99cev&rft.btitle=The+Metamathematics+of+Algebraic+Systems&rft.date=1971&rft.genre=book&rft.place=Amsterdam&rft.pub=North-Holland&rft.series=Studies+in+logic+and+the+foundations+of+mathematics" style="display:none"> </span></li>

<li>Heinrich Werner: <cite style="font-style:italic">Einführung in die allgemeine Algebra</cite> (= <cite style="font-style:italic">BI-Hochschultaschenbücher</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>120</span>). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00120-8.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Universelle+Algebra&rft.au=Heinrich+Werner&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+allgemeine+Algebra&rft.date=1978&rft.genre=book&rft.isbn=3411001208&rft.place=Mannheim+u.+a.&rft.pub=Bibliographisches+Institut&rft.series=BI-Hochschultaschenb%C3%BCcher" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a href="Lew_Anatoljewitsch_Skornjakow" title="Lew Anatoljewitsch Skornjakow">Lev Anatolevich Skornyakov</a>: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Universal algebra</cite>. In: <a href="Michiel_Hazewinkel" title="Michiel Hazewinkel">Michiel Hazewinkel</a> (Hrsg.): <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic"><a href="Encyclopedia_of_Mathematics" class="mw-redirect" title="Encyclopedia of Mathematics">Encyclopedia of Mathematics</a></cite>. Springer-Verlag und <a href="European_Mathematical_Society" title="European Mathematical Society">EMS</a> Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Universal_algebra">encyclopediaofmath.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Universelle+Algebra&rft.atitle=Universal+algebra&rft.au=Lev+Anatolevich+Skornyakov&rft.btitle=Encyclopedia+of+Mathematics&rft.date=2002&rft.genre=book&rft.isbn=1556080107&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag+und+EMS+Press" style="display:none"> </span></li>

<li>Alex Sakharov, Matt Insall: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/UniversalAlgebra.html"><i>Universal Algebra</i>.</a> In: <i><a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch).</li>

<li><i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://ncatlab.org/nlab/show/universal+algebra">universal algebra</a></i>, Eintrag im <i>nLab</i>. (englisch)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Heinrich Werner: <cite style="font-style:italic">Rezension des Buches <i>Equational logic</i> von Walter Taylor</cite>. In: <cite style="font-style:italic">The Journal of Symbolic Logic</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>47</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>2</span>, 1982, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>450</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307/2273161">10.2307/2273161</a></span>, <a href="JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.jstor.org/stable/2273161">2273161</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Universelle+Algebra&rft.atitle=Rezension+des+Buches+Equational+logic+von+Walter+Taylor&rft.au=Heinrich+Werner&rft.date=1982&rft.doi=10.2307%2F2273161&rft.genre=journal&rft.issue=2&rft.jtitle=The+Journal+of+Symbolic+Logic&rft.pages=450&rft.volume=47" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Alfred_North_Whitehead" title="Alfred North Whitehead">Alfred North Whitehead</a>: <cite style="font-style:italic"><a href="Treatise_on_Universal_Algebra" title="Treatise on Universal Algebra">A Treatise on Universal Algebra</a></cite>. with Applications. Cambridge University Press, Cambridge 1898 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.chmm/1263316509">projecteuclid.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Universelle+Algebra&rft.au=Alfred+North+Whitehead&rft.btitle=A+Treatise+on+Universal+Algebra&rft.date=1898&rft.genre=book&rft.place=Cambridge&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-GrätzerVII-3"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-GrätzerVII_3-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-GrätzerVII_3-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">George Grätzer: <i>Universal Algebra.</i> S. vii.</span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Lev Aleksandrovich Skornyakov: <i>Universal algebra.</i></span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Die allgemeine, überabzählbare Signaturen erlaubenden Varianten des <a href="Satz_von_L%C3%B6wenheim-Skolem" title="Satz von Löwenheim-Skolem">Satzes von Löwenheim-Skolem</a>, des Kompaktheitssatzes und des <a href="Vollst%C3%A4ndigkeitssatz" class="mw-redirect" title="Vollständigkeitssatz">Vollständigkeitssatzes</a> gehen auf ihn zurück, siehe Juliette Kennedy: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://plato.stanford.edu/entries/goedel/"><i>Kurt Gödel.</i></a> In: Edward N. Zalta (Hrsg.): <i><a href="Stanford_Encyclopedia_of_Philosophy" title="Stanford Encyclopedia of Philosophy">Stanford Encyclopedia of Philosophy</a></i>..</span>

</li>

<li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">George Grätzer: <i>Universal Algebra.</i> S. viii.</span>

</li>

</ol>

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4061777-4">4061777-4</a></span> </div>

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